宮城県公立高校入試問題令和3年(数学)

 福島県から北上し宮城県。難解な問題は少ないが、知らないと解けない問題が出ていた。
 どこの県でも出題されている図形問題は、やはり少し時間を要する。

第三問2(4)

 このような問題は、よく見かけるが、解法を知らないと解けない。この機会に解法を覚えておこう。

解答例

点\(A\)と\(y\)軸に関して対称な点を\(A’\)とおく。

線分\(A’B\)と\(y\)軸との交点\(P\)をとすれば、\(AP+PB\)は最小になる。(右下の図を参照)

点\(A’\)から\(x\)軸に下した垂線の足を\(C\)とすると
\(\triangle BA’C \sim \triangle BPO\)だから
\(BC:BO=8:5\)
\( \iff A’C:PO=8:5\)
\(\iff 4:PO=8:5\)
\( \iff PO=\frac{5}{2}\)

(答) \( \Large {\frac {5}{2}}\)

第四問2

解答例

(3)が少し解答に戸惑う。(1)から解答していこう。

(1)\(\triangle CDE \sim \triangle ADE\)だから、
\(CD:DA=AD:DE\)
\(\iff 3:2=2:DE\)
\(\iff DE=\frac{4}{3}\cdots\)①

(答) \(\Large \frac{4}{3}\)

(2)

\(\triangle HDE \sim \triangle BCE\)だから、
\(HD:DE=BC:CE\)
\(\iff HD:\frac{4}{3}=4:(3+\frac{4}{3})\)
\(\iff HD:\frac{4}{3}=4:\frac{13}{3}\)
\(\iff HD=\frac{12}{13} \times \frac{4}{3}=\frac{16}{13}\cdots\)②
よって、
\(\triangle EHD=\frac{1}{2} \times HD \times DE\)
\(\iff \triangle EHD=\frac{1}{2} \times \frac{16}{13} \times \frac{4}{3}\)
\(=\frac{32}{39}\)

(答) \(\Large \frac{32}{39}\) \((cm^2)\)

(3)

右の図のように、\(H\)から線分\(BC\)に下した垂線と線分\(AC\)との交点を\(I\)とする。

②より
\(AH=AD-HD=2-\frac{16}{13}=\frac{10}{13}\cdots\)③
ここで、\(\triangle ACD \sim \triangle AIH\) だから、
\(DC:HI=AD:AH\)
\(\iff 3:HI=2:\frac{10}{13}\)
\(\iff HI=3 \times \frac{10}{13} \times \frac{1}{2}\)
\(=\frac{15}{13}\dots\)➃

また、\(\triangle EHD \sim \triangle FAH\) だから
①②③より
\(ED:FA=HD:HA\)
\(\iff \frac{4}{3}:FA=\frac{16}{13}:\frac{10}{13}\)
\(\iff FA=\frac{4}{3} \times \frac{10}{13} \times \frac{13}{16}\)
\(=\frac{5}{6}\cdots\)⑤

よって、➃⑤より
\(FG:GH=FA:HI\)
\(=\frac{5}{6}:\frac{15}{13}\)
\(=13:18\)
\(\iff FH:GH=(13+18):18\)
\(=31:18\)

(答) \(FH:GH=31:18\)

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アクトイン代表:熊原