岐阜県公立高校入試問題令和3年(数学)

良問が多い。解答する問題を抜粋するのに迷うくらいだ。とくに、大問6の無理数の問題は面白い。

大問3(3)

(3)解答例

参考のために右下にグラフを載せておきます。

\(y=x+2, \ y=-x+2, \ y=ax+b\) で三角形ができない場合は
\(y=ax+b \quad (1 \leq a \leq 6)\) が \(y=x+2\) に平行か、\(y\)切片が2のときである。

① \(y-x+2\) に平行な場合
\(a=1\) のときであるから、その確率は
\(\frac{1}{6}\)

② ①を除き、切片が2になる場合
\(a \neq 1, \ b=2\) のときであるから、その確率は
\(\frac{5}{36}\)

よって、求める確率は
\(\frac{1}{6}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}\)

(3) (答) \(\large \frac{11}{36}\)

大問4

(4)の解答例

(ア) \(0 \leq x \leq 6\) のとき
\(x=2(12-2x) \iff x=\frac{24}{5}\)

(イ) \(6 \leq x \leq 12\) のとき
\(12-x=2(2x-12) \iff x=\frac{36}{5}\)

(答) \(\large \frac{36}{5}\)\(=7.2\) \((cm)\)

大問5

素直で解きやすい問題だが、面積問題なので解いておこう

(2)解答例

与えられた図では、\(\angle ABD=45^{\circ}\)からは程遠いので、それらしい図を右下に描いた。

(ア)
\(\triangle ABH\)は\(AH=BH\)の直角二等辺三角形。
よって、\(AB:AH=\sqrt{2}:1\)
\(\iff AH=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)

(ア)の(答) \(3\sqrt{2}\) \((cm)\)

(イ)


\(BE\)が解ればよい。
同じ弧に対する円周角より
\(\angle ACB=\angle ADB=60^{\circ}\)
(1)より\(AE=AD\)なので\(\triangle AED\)は正三角形
よって、\(AH:EH=\sqrt{3}:1\)
\(\iff EH=\frac{AH}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)

ゆえに\(BE=BH-EH=3\sqrt{2}-\sqrt{6}\)

求める\(\triangle ABE\)の面積は
\(\triangle ABE=BE \times AH \times \frac{1}{2}\)
\(=(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \times 3\sqrt{2} \times \frac{1}{2}\)
\(=9-3\sqrt{3}\)

(イ)(答) \(9-3\sqrt{3}\) \((cm^2)\)

大問6

大問6(4)解答例

(3)までに解っていること。

・裏の数が\(n\)であるカードの表の数は\(n^2\)から\(n^2+2n\)までで、カードは\(2n+1\)枚ある。
・表の数が\(150\)であるカードの裏の数は\(12\)で、カードは7枚ある。

\(P\)を素因数分解したときの\(3\)の指数が求める\(m\)の最大値である。

\(n=3\)のときカードの枚数は、\(2 \times 3 +1=7\)、因数\(3\)の部分は\(3^7\)
\(n=6\)のときのカードの枚数は、\(2 \times 6 +1=13\)、因数\(3\)の部分は\(3^{13}\)
\(n=9\)のときカードの枚数は、\(2 \times 9 +1=19\)、因数\(3\)の部分は\((3^2)^{19}=3^{38}\)
\(n=12\)のときカードの枚数は、\(7\)、因数\(3\)の部分は\(3^7\)

よって、\(P\)を素因数分解したときの因数\(3\)の部分は
\(3^7 \times 3^{13} \times 3^{38} \times 3^7\)
\(=3^{7+13+38+7}=3^{65}\)

(4)(答) \(65\)

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アクトイン代表:熊原