アクトイン代表：熊原 良問が多い。解答する問題を抜粋するのに迷うくらいだ。とくに、大問６の無理数の問題は面白い。
大問３（３）
（3）解答例
参考のために右下にグラフを載せておきます。
\(y=x+2, \ y=-x+2, \ y=ax+b\) で三角形ができない場合は
\(y=ax+b \quad (1 \leq a \leq 6)\) が \(y=x+2\) に平行か、\(y\)切片が２のときである。
① \(y-x+2\) に平行な場合
\(a=1\) のときであるから、その確率は
\(\frac{1}{6}\)
② ①を除き、切片が２になる場合
\(a \neq 1, \ b=2\) のときであるから、その確率は
\(\frac{5}{36}\)
よって、求める確率は
\(\frac{1}{6}+\frac{5}{36}=\frac{11}{36}\)
（３） （答） \(\large \frac{11}{36}\)
大問４
（４）の解答例
（ア） \(0 \leq x \leq 6\) のとき
\(x=2(12-2x) \iff x=\frac{24}{5}\)
（イ） \(6 \leq x \leq 12\) のとき
\(12-x=2(2x-12) \iff x=\frac{36}{5}\)
（答） \(\large \frac{36}{5}\)\(=7.2\) \((cm)\)
大問５
素直で解きやすい問題だが、面積問題なので解いておこう
（２）解答例
与えられた図では、\(\angle ABD=45^{\circ}\)からは程遠いので、それらしい図を右下に描いた。
（ア）
\(\triangle ABH\)は\(AH=BH\)の直角二等辺三角形。
よって、\(AB:AH=\sqrt{2}:1\)
\(\iff AH=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
（ア）の（答） \(3\sqrt{2}\) \((cm)\)
（イ）
\(BE\)が解ればよい。
同じ弧に対する円周角より
\(\angle ACB=\angle ADB=60^{\circ}\)
(1)より\(AE=AD\)なので\(\triangle AED\)は正三角形
よって、\(AH:EH=\sqrt{3}:1\)
\(\iff EH=\frac{AH}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\)
ゆえに\(BE=BH-EH=3\sqrt{2}-\sqrt{6}\)
求める\(\triangle ABE\)の面積は
\(\triangle ABE=BE \times AH \times \frac{1}{2}\)
\(=(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \times 3\sqrt{2} \times \frac{1}{2}\)
\(=9-3\sqrt{3}\)
（イ）（答） \(9-3\sqrt{3}\) \((cm^2)\)
大問６
大問６（４）解答例
（３）までに解っていること。
・裏の数が\(n\)であるカードの表の数は\(n^2\)から\(n^2+2n\)までで、カードは\(2n+1\)枚ある。
・表の数が\(150\)であるカードの裏の数は\(12\)で、カードは7枚ある。
\(P\)を素因数分解したときの\(3\)の指数が求める\(m\)の最大値である。
\(n=3\)のときカードの枚数は、\(2 \times 3 +1=7\)、因数\(3\)の部分は\(3^7\)
\(n=6\)のときのカードの枚数は、\(2 \times 6 +1=13\)、因数\(3\)の部分は\(3^{13}\)
\(n=9\)のときカードの枚数は、\(2 \times 9 +1=19\)、因数\(3\)の部分は\((3^2)^{19}=3^{38}\)
\(n=12\)のときカードの枚数は、\(7\)、因数\(3\)の部分は\(3^7\)
よって、\(P\)を素因数分解したときの因数\(3\)の部分は
\(3^7 \times 3^{13} \times 3^{38} \times 3^7\)
\(=3^{7+13+38+7}=3^{65}\)
（４）（答） \(65\)