愛媛県公立高校入試問題令和3年(数学)

 令和3年度の入試問題はまだ公開されていないようだ。下の問題は愛媛CATのWEBページからダウンロードしたものである。思考を要すると思われる問題を抜粋して解答してみる。

大問(三)

2 解答例

ヒントに「360の約数は24個ある」とある。

\(360\)の約数は、\(1,2,3,4,\cdots,180,360\)の\(24\)個
\(x\)は\(0\)より大きく\(180\)より小さい整数だから\(180,360\)は除外される。
\(x=1\)のとき、\(\frac{360}{1}=360\)で360角形
\(x=2\)のとき、\(\frac{360}{2}=180\)で180角形
\(x=3\)のとき、\(\frac{360}{3}=120\)で120角形
\(x=4\)のとき、\(\frac{360}{4}=90\)で90角形
・・・・・・・・・・・・
\(x=120\)のとき、\(\frac{360}{120}=3\)で3角形
したがって、\(x\)の個数は、\(22\)

2 (答) \(22\) (個)

大問(四)

4解答例

\(AB//CO\)だから
\(\triangle ABC=\triangle ABO\)
\(=2\times 6\times \frac{1}{2}=6\)

4 (答) \(6\)

5解答例

問題文には
「点\(P\)の\(y\)座標を全てもとめよ」
と書いてあるので、答えは1つだけではないことに注意しよう。

点\(P\)の\(y\)座標を \(k \quad ( \gt 0)\) とおくと


\(k \gt 2\)のとき
\(\triangle ABP=(k-2)\times 6 \times \frac{1}{2}=3(k-2)\)
\(\triangle AOP=2k\)
\(\triangle ABP=\triangle AOP\)
\(\iff 3(k-2)=2k\)
\(\iff k=6\)

\(k \lt 2\)のとき
\(\triangle ABP=(2-k)\times 6 \times \frac{1}{2}=3(2-k)\)
\(\triangle AOP=2k\)
\(\triangle ABP=\triangle AOP\)
\(\iff 3(2-k)=2k\)
\(\iff k=\frac{6}{5}\)

5 (答) \( 6 \quad , \quad \large \frac{6}{5}\)

大問(五)

1解答例

\(\triangle AEF \sim \triangle DCE\) を証明する。

\(\triangle AEF\) と \(\triangle DCE\) において
\(\angle FAE=\angle EDC=90^{\circ}\cdots\)①
ここで
\(\angle FEC=90^{\circ}\)だから
\(\angle AEF+ \angle DEC=90^{\circ}\cdots\)②
また
\(\angle DEC+\angle DCE=90^{\circ}\cdots\)③

②③より
\(\angle AEF=\angle DCE\cdots\)④

①④より2組の角がそれぞれ等しいので
\(\triangle AEF \sim \triangle DCE\)

3解答例

《考え方》
四角形\(BGEF\)
\(=\triangle ABD-\triangle AEF – \triangle GDE\)
で計算する。

\(\triangle AEF\sim \triangle DCE\)
\(\iff AF:AE=DE:DC\)
\(\iff DE=10\times \frac{4}{2\sqrt{5}}\)
\(=4\sqrt{5}\)
よって
\(AD=BC=6\sqrt{5}\)

また
\(\triangle GDE \sim \triangle GBC\) だから
\(DE:BC=FG:CG=2:3\)
\(\iff \triangle GDE=\triangle DEC\times \frac{2}{5}\)
\(=20\sqrt{5}\times \frac{2}{5}=8\sqrt{5}\)

よって
四角形\(BGEF\)
\(=\triangle ABD-\triangle AEF – \triangle GDE\)
\(=30\sqrt{5}-4\sqrt{5}-8\sqrt{5}\)
\(=18\sqrt{5}\)

3 (答) \(18\sqrt{5}\)

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アクトイン代表:熊原