愛知県公立高校入試問題令和3年(数学)B問題

 愛知県公立高校入試問題はA,B問題の2種類がある。今回はB問題。難問はないが、良問が多い印象。面積や線分の長さ・角度を求めさせるような図形問題が多い。問3の図形問題を解答してみよう。

問3(1)解答例

右下の図のように、点\(O\)と点\(C\)を結ぶと、直線\(EC\)は接線で点\(C\)は接点だから
\(\angle OCE=90^{\circ}\)
よって、\(\angle COE=48^{\circ}\)
\(\iff \angle COA=132^{\circ}\)
\(\iff \angle CDA=66^{\circ}\)

(答) \(66^{\circ}\)

問3(2)解答例

右下の図のように、\(F\)から辺\(AB\)に下した垂線の足を\(H\)、\(G\)から辺\(AB\)に下した垂線の足を\(I\)、\(G\)から辺\(BC\)に下した垂線の足を\(J\)とする。

題意より
\(DE=4, \ FH=4\)
\(GI=BJ=2\)
\(JC=6, \ GJ=3\)
\(GC=\sqrt{GJ^2+JC^2}\)
\(=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}\)

①(答) \(GC=3\sqrt{5}\) \((cm)\)

四角形\(FGCE\)
\(=\)四角形\(ABCD-\triangle AED-\triangle FAB-\triangle GBC\)
\(=64-16-16-12=20\)

②(答) \(20\) \((cm^2)\)

問3(3)解答例

右下の図のように、\(O\)から辺\(AB\)に下した垂線の足を\(E\)、\(B\)から辺\(OA\)に下した垂線の足を\(F\)とすると
\(BE=2\) だから

\(OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}\)

\(\triangle OAB\)の面積は
\(AB \times OE \times \frac{1}{2}\)
\(=4 \times 4\sqrt{2} \times \frac{1}{2}\)
\(=8\sqrt{2}\)

よって、
\(OA \times BF \times \frac{1}{2}=8\sqrt{2}\)
\(\iff BF=\frac{8}{3}\sqrt{2}\)
したがって
\(FA=\sqrt{AB^2-BF^2}\)
\(=\sqrt{4^2-(\frac{8}{3}\sqrt{2})^2}\)
\(=\sqrt{16-\frac{128}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}\)

ゆえに
\(DA=2FA=2 \times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)

① (答) \(\large \frac{8}{3}\) \((cm)\)

三角すい\(DABC\)と正三角すい\(OABC\)の高さの比は、①より、
\(DA:OA=\frac{8}{3}:6=4:9\)
よって、三角すい\(DABC\)と正三角すい\(OABC\)の体積比も\(4:9\)である。
ゆえに立体\(ODBC\)と正三角すい\(OABC\)の体積比は
\((9-4):9=5:9\)
立体\(ODBC\)の体積は正三角すい\(OABC\)の体積の\(\frac{5}{9}\)倍である。

② (答) \(\large \frac{5}{9}\) 倍

この記事を書いた人

アバター

アクトイン代表:熊原