数学Ⅰ 2次関数6

2次関数の決定

 この単元も定期考査に出題されやすいです。
 与えられた条件から2次関数を求めさせる問題が出題されます。

2次関数が1つに定まる(決定する)場合は主に次の3つです。

(ⅰ) 頂点の座標と他のグラフ上の1点が
    与えられた場合

(ⅱ) 放物線の軸の方程式とグラフ上の
    2点が与えられた場合

(ⅲ) グラフ上の3点が与えられた場合

例14

(ⅰ) 頂点が\( \ (1, \ 2) \ \)で、点\( \ (3, \ 6) \ \)を通る。

 頂点の座標が与えられているので、標準形の$$ y=a(x-p)^2+q \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

頂点の座標が\( \ (1,2) \ \)ですから、\(p=1, \ q=2 \ \) 
よって \(y=a(x-1)^2+2 \ \cdots \ (\ast \ast)\)
点\( \ (3, \ 6) \ \)を通るから、\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ 3 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 6 \ \)を
代入して
\(6=a(3-1)^2+2, \quad 6=4a+2, \quad a=1\)

したがって、2次関数は、$$ \large y=(x-1)^2+2 $$ と、決定しました。

(ⅱ) 軸が\( \ x=3 \ \)で、
    2点\( \ (5, \ 6) \ \)、\((-1, \ -6) \ \)を通る。

 軸の方程式が与えられているので、標準形の$$ y=a(x-p)^2+q \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

軸の方程式が\( \ x=3 \ \)ですから、\(p=3 \ \) よって
\(y=a(x-3)^2+q \ \cdots \ (\ast \ast)\)
点\( \ (5, \ 6) \ \)を通るから、
\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ 5 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 6 \ \)を代入して
\(6=a(5-3)^2+p, \quad 6=4a+p \ \cdots \ \)①
点\( \ (-1, \ -6) \ \)を通るから、
\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ -1 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ -6 \ \)を代入して
\(-6=a(-1-3)^2+p, \quad -6=16a+p \ \cdots \ \)②

①②を連立して解きます。

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} 6 &=& 4a+q \ \ \ \cdots \ ① \\ -6 &=& 16a+q \ \cdots \ ② \end{cases} \end{eqnarray} \)

②\( \ – \ \)①
\(-12=12a \ , \quad a=-1\)
よって、①より 
\(6=4 \times (-1)+q \ , \quad q=10\)

したがって、\((\ast \ast)\)より、2次関数は、$$ \large y=-(x-3)^2+10 $$

(ⅲ) 3点\( \ (-1, \ 0)\)、\((2, \ 3)\)、\((3, \ -4)\)
    を通る。

 一般形の$$ y=ax^2+bx+c \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

 まだ学習していない連立3元1次方程式を解くことになります。連立3元1次方程式とは、求める未知数が3つあるので、連立する式が3つある連立方程式のことです。この解き方を学ぶ必要があります。この例などで解き方を確実に覚えてください。

点\( \ (-1, \ 0) \ \)を通ることから
\((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ -1 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 0 \ \)を代入します。
\(0=a\times (-1)^2 + b \times (-1) +c\)
\(0=a-b+c \ \cdots \ \)①

点\( \ (2, \ 3) \ \)を通ることから
\((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ 2 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 3 \ \)を代入します。
\(3=a\times 2^2 + b \times 2 +c\)
\(3=4a+2b+c \ \cdots \ \)②

点\( \ (3, \ -4) \ \)を通ることから
\((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ 3 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ -4 \ \)を代入します。
\(-4=a\times 3^2 + b \times 3 +c\)
\(-4=9a+3b+c \ \cdots \ \)③

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ a- \ \ b+c & =0 \ \ \ \ \cdots \ ① \\ 4a+2b+c & =3 \ \ \ \ \cdots \ ② \\ 9a+3b+c & =-4 \ \cdots \ ③ \end{cases} \end{eqnarray} \)  \((\ast \ast)\)

\((\ast \ast) \ \)を、連立3元1次方程式といいます。これを解いて\( \ a, \ b, \ c \ \)が求まれば\((\ast) \ \)より、2次関数が決定します。

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ a- \ \ b+c & =0 \ \ \ \ \cdots \ ① \\ 4a+2b+c & =3 \ \ \ \ \cdots \ ② \\ 9a+3b+c & =-4 \ \cdots \ ③ \end{cases} \end{eqnarray} \)  \((\ast \ast)\)

\((\ast \ast) \ \)を解きます。解き方を覚えてください。

②\(-\)① \(c \ \)を消去します。
\(3a+3b=3 \ , \quad a+b=1 \ \cdots \ \)④
③\(-\)① \(c \ \)を消去します。
\(8a+4b=-4 \ , \quad 2a+b=-1 \ \cdots \ \)⑤

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ a+b &=& 1 \ \ \ \ \cdots \ ④ \\ 2a+b &=& -1 \ \cdots \ ⑤ \end{cases} \end{eqnarray} \)

これを解いて、\(a=-2, \ b=3\)
よって、①より\( \ c=5\)
したがって、求める2次関数は
\(y=-2x^2+3x+5\)

(補足)
 3点を通るという条件から出てくる連立3元1次方程式は、\( \ c \ \)の係数が1になります。したがって、すぐに\( \ c \ \)を消去でき、計算しやすいです。

 一般の連立3元1次方程式を解かせる問題が定期考査で出題されると思いますので、後ほど練習問題として掲載します。

練習9

 グラフが次の条件を満たす2次関数を求めなさい。

(1) 頂点が\( \ (-2, \ -1) \ \)で、
    点\( \ (0, \ 11) \ \)を通る。

(2) 軸が\( \ x=-1 \ \)で、
    点\((1, \ 3) \ \)、\((-2, \ -3) \ \)を通る。

(3) 3点\( \ (-1, \ 1)\)、\((1, \ -3)\)、\((3, \ 9) \ \)
    を通る。

解答

(1) 頂点が\( \ (-2, \ -1) \ \)で、
    点\( \ (0, \ 11) \ \)を通る。

 頂点の座標が与えられているので、標準形の$$ y=a(x-p)^2+q \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

頂点の座標が\( \ (-2, \ -1) \ \)だから、\(p=-2, \ q=-1 \ \) よって
\(y=a\{x-(-2)\}^2-1=a(x+2)^2-1\)
\(y=a(x+2)^2-1 \ \cdots \ (\ast \ast)\)
点\( \ (0, \ 11) \ \)を通るから、
\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ 0 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 11 \ \)を代入して
\(11=a(0+2)^2-1, \quad 11=4a-1, \quad a=3\)

したがって、求める2次関数は、$$ \large y=3(x+2)^2-1 \quad \cdots \ (答)$$

 答えを標準形のままにするか、一般形に変形するかは教員(学校)の指導に従ってください。一般形にこだわる教員が居ます。

解答

(2) 軸が\( \ x=-1 \ \)で、
    点\((1, \ 3) \ \)、\((-2, \ -3) \ \)を通る。

 軸の方程式が与えられているので、標準形の$$ y=a(x-p)^2+q \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

軸の方程式が\( \ x=-1 \ \)だから、\(p=-1 \ \) よって
\(y=a\{x-(-1)\}^2+q=a(x+1)^2+q\)
\(y=a(x+1)^2+q \ \cdots \ (\ast \ast)\)
点\( \ (1, \ 3) \ \)を通るから、
\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ 1 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 3 \ \)を代入して
\(3=a(1+1)^2+p, \quad 3=4a+p \ \cdots \ \)①
点\( \ (-2, \ -3) \ \)を通るから、
\((\ast \ast) \ \)の\( \ x \ \)に\( \ -2 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ -3 \ \)を代入して
\(-3=a(-2+1)^2+p, \quad -3=a+p \ \cdots \ \)②

①②を連立して解きます。

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} 3 &=& 4a+q \ \ \ \cdots \ ① \\ -3 &=& a+q \ \cdots \ ② \end{cases} \end{eqnarray} \)

①\( \ – \ \)②
\(6=3a \ , \quad a=2\)
よって、①より \(3=4 \times 2+q \ , \quad q=-5\)

したがって、\((\ast \ast)\)より、求める2次関数は、$$ \large y=2(x+1)^2-5 \quad \cdots \ (答) $$

解答

(3) 3点\( \ (-1, \ 1)\)、\((1, \ -3)\)、\((3, \ 9) \ \)を通る。

 一般形の $$ y=ax^2+bx+c \ \cdots \ (\ast) $$ を使います。

  点\( \ (-1, \ 1) \ \)を通ることから
\((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ -1 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 1 \ \)を代入します。
\(1=a\times (-1)^2 + b \times (-1) +c\)
\(1=a-b+c \ \cdots \ \)①
   点\( \ (1, \ -3) \ \)を通ることから
 \((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ 1 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ -3 \ \)を代入します。
 \(-3=a\times 1^2 + b \times 1 +c\)
 \(-3=a+b+c \ \cdots \ \)②
    点\( \ (3, \ 9) \ \)を通ることから
  \((\ast)\)の\( \ x \ \)に\( \ 3 \ \)、\( \ y \ \)に\( \ 9 \ \)を代入します。
  \(9=a\times 3^2 + b \times 3 +c\)
  \(9=9a+3b+c \ \cdots \ \)③

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ a-b+c & =1 \ \ \ \ \cdots \ ① \\ \ a+b+c & =-3 \ \ \ \ \cdots \ ② \\ 9a+3b+c & =9 \ \ \ \ \cdots \ ③ \end{cases} \end{eqnarray} \)

この連立3元1次方程式を解きます。

②\(-\)① \(a, \ c \ \)を消去します。
\(2b=-4 \ , \quad b=-2 \ \cdots \ \)④
よって、①は
\(a-(-2)+c=1 \ , \quad a+c=-1 \ \cdots \ \)⑤
③は
\(9a+3 \times (-2)+c=9 \ , \quad 9a+c=15 \ \cdots \ \)⑥

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ a+c &=& -1 \ \ \cdots \ ⑤ \\ 9a+c &=& 15 \ \ \ \cdots \ ⑥ \end{cases} \end{eqnarray} \)

これを解いて、\(a=2, \ c=-3\)
④より\( \ b=-2\)

したがって、求める2次関数は $$ \Large y=2x^2-2x-3 $$

 では、一般の連立3元1次方程式を解く練習をしましょう。次の練習10は、例14、練習9とやり方は同じです。まず、1つの文字を消去します。

練習10

次の連立3元1次方程式を解きなさい。

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ x+ \ \ y+ \ \ z & =1 \\ 2x-4y- \ \ z & =11 \\ \ \ x- \ \ y-2z & =2 \end{cases} \end{eqnarray} \)

解答

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ x+ \ \ y+ \ \ z & =1 \ \ \ \cdots ① \\ 2x-4y- \ \ z & =11 \ \cdots ② \\ \ \ x- \ \ y-2z & =2 \ \ \ \cdots ③ \end{cases} \end{eqnarray} \)

\(z\)を消去します。

①\(+\)②
\(3x-3y=12, \quad x-y=4 \ \cdots\) ④
①\(\times 2 +\)③
\(3x+y=4 \ \cdots\) ⑤

\(\begin{eqnarray} \begin{cases} \ \ x-y &=& 4 \ \ \ \ \cdots \ ④ \\ 3x+y &=& 4 \ \ \ \ \cdots \ ⑤ \end{cases} \end{eqnarray} \)

④\(+\)⑤
\(4x=8, \quad x=2\)
よって、④より \(y=-2\)  したがって①より \(z=1\)

(答) \(x=2, \quad y=-2, \quad z=1\)

 数学Ⅰの2次関数の領域のうち、「2次関数のグラフ(平行移動)」「2次関数の最大・最小」「2次関数の決定」について学習しました。残りは、「2次方程式・2次不等式」です。

 

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アクトイン代表:熊原