秋田県公立高校入試問題令和3年(数学)

前期

 すべて素直で解きやすい問題だが、問題4(3)の面積問題の解法は重要なのでここで確認しておこう。

4(3)解答例

(2)より直線\(AB\)の式は
\(y=-x-3\)

三角形の面積を求めるときに、どの辺を底辺にし、高さをどこにするかが重要である。この問題では\(\triangle ABC\)の面積を、二つの三角形に分けて考えると計算しやすい。

右の図のように、点\(C\)から直線\(AB\)に下した垂線の足を\(E\)とすると
\(\triangle ABC=\triangle AEC + \triangle BEC\)

\(\triangle AEC\)と\( \triangle BEC\)の底辺を線分\(CE\)とすれば、この2つの三角形の高さは、それぞれ点\(A\)と点\(C\)、点\(B\)と点\(C\)の\(x\)座標の差になる。

線分\(CE\)の長さは、\(OC /\!/ AB\)より、\(CE=OD=3\)
\(\triangle ABC=\triangle AEC + \triangle BEC\)
\((=\{CE \times (4-(-2) )+ CE \times (6-4)\}\times \frac{1}{2})\)
\(=CE \times (6-(-2)) \times \frac{1}{2}\)
\(=3 \times 4=12\)

(答) \(12\) \((cm^2)\)

 計算上は点\(A\)と点\(B\)の\(x\)座標の差に\(CE\)の長さをかけて2で割るだけでよいので、暗算でできる。このような計算の仕方の面積問題は、よく出題されている。

後期

 他県のほとんどが試験時間が50分であるのに対して、秋田県は60分である。したがって、ボリュームがあり、面積問題が3題も出題されていた。最後の面積問題はかなり厄介である。

では、その難解な面積問題 

大問5‐Ⅱ(2)②

解答例

 右下の図のように、点\(P\)から\(y\)軸に下した垂線の足を\(E\)、\(\triangle OBQ\)の面積を\(S\)、求める点\(P\)の\(x\)座標を\(k\)とすると、

\(P(k,3k-5),E(0,3k-5)\)
\(\triangle OBQ = \triangle APQ =S\)

\(四角形BAPE +\triangle DAB=\triangle DPE \)
\(\iff 四角形BQPE +S +\triangle DAB=\triangle DPE \)
\(\iff \triangle OPE + \triangle DAB=\triangle DPE \)
 この式より、\(k\)を求める

\(\triangle OPE=\frac{1}{2} k(3k-5)\)
\(\triangle DAB=\frac{1}{2} \times 8 \times 3=12\)
\(\triangle DPE=\frac{1}{2} \times k \times 3k=\frac{3}{2}k^2\)

よって、\(\frac{1}{2} k(3k-5) + 12=\frac{3}{2}k^2\)
\(\iff \frac{3}{2}k^2 -\frac{5}{2}k + 12=\frac{3}{2}k^2\)
\(\iff \frac{5}{2}k=12\)
\(\iff k=\frac{24}{5}\)

(答) \( \large \frac{24}{5}\)

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アクトイン代表:熊原