奈良県公立高校入試問題令和3年(数学)

少し難解な面積問題が2題出題されている。

大問3⃣

(3)解答例

\(y=2x^2, \ A(-1,2), \ B(2,8)\)

① \(y=\frac{8-2}{2+1}x+b\)
\(\iff y=2x+b\)
\(B(2,8)\)を通ることから
\(8=2\times 2+b\iff b=4\) よって
\(y=2x+4\)

① (答) \(y=2x+4\)

\(D\)の座標を\((0,k)\)とおく
\(\triangle BED\)の面積は
\((4-k)\times 2\times \frac{1}{2}=4-k \cdots\)①

直線\(BC\)の方程式は
\(y=\frac{8-k}{2}x+k\)
直線\(OA\)の方程式は
\(y=-2x\)
この2直線の交点\(C\)の\(x\)座標は
\(-2x=\frac{8-k}{2}x+k\)
\(\iff -2-\frac{8-k}{2}x=k\)
\(\iff \frac{k-12}{2}x=k\)
\(x=\frac{2k}{k-12}\cdots\)②
(この\(x\)はマイナスの数である)

したがって\(\triangle ODC\)の面積は
\(k\times (-\frac{2k}{k-12})\times \frac{1}{2}=\frac{k^2}{12-k}\cdots\)③

①③より
\(\frac{k^2}{12-k}=4-k\)
\(\iff k^2=k^2-16k+48\)
\(\iff k=3\)

よって②より
\(x=\frac{2\cdot3}{3-12}=-\frac{2}{3}\)

② (答) \(\large -\frac{2}{3}\)

大問4⃣

(2)解答例

\(\angle BAC=a^{\circ},\angle ACB=90^{\circ}\)
\( \iff \angle ABC=90^{\circ}-a^{\circ}\)
ここで
\(BC=CE,OC=OE=OB\)
\( \iff \triangle OCE \equiv \triangle OBC\)
だから
\(\angle OCE=\angle OBC\)
よって
\(\angle OCD=\angle ABC=90^{\circ}-a^{\circ}\)

(2) (答) \(90^{\circ}-a^{\circ}\)

(3)解答例

右下の図のように
\(O\)から線分\(EB\)に下した垂線の足を\(H\)とする

\(\angle AOE=60^{\circ}\)より
\(\angle OBE=\angle OEB=30^{\circ}\)
\(BO:OH:BH=2:1:\sqrt{3}\)
だから
\(OB=\frac{5}{2}\)より\(BH=\frac{5\sqrt{3}}{4}\)
\(\iff EB=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)
(1)より\(\triangle ACD \sim \triangle EBD\)だから
\(DE:AD=EB:AC=\frac{5\sqrt{3}}{2}:3\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{6}\)

(3) (答) \(\large \frac{5\sqrt{3}}{6}\) 倍

(4)解答例

右下の図のように
\(C\)から線分\(AB\)に下した垂線の足を\(H\)とする

\(\triangle ABC\)は
\(\angle ACB=90^{\circ},AC=3,BC=4\)
\(AB=5\) の直角三角形
\(\triangle ABC \sim \triangle ACH\)だから
\(AC:AH=5:3\)
\(\iff AH=3 \times \frac{3}{5}=\frac{9}{5}\)
\(\iff AD=\frac{18}{5}\)
\(\iff DB=AB-AD\)
\(=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5} \ \cdots\)①

(1)より\(\triangle ACD \sim \triangle EBD\)で
相似比は①より
\(CD:BD=3:\frac{7}{5}=15:7 \ \cdots\)②

また
\(CH=4 \times \frac{3}{5}=\frac{12}{5}\)
よって\(\triangle ACD\)の面積は
\(AD \times CH \times \frac{1}{2}\)
\(\large =\frac{18}{5} \times \frac{12}{5} \times \frac{1}{2}\)
\(\large =\frac{9 \times 12}{5^2} \ \cdots\)③

ゆえに②③より
\(\triangle EBD\)の面積は
\(\large \triangle ACD \times (\frac{7}{15})^2\)
\(\large =\frac{9\times 12}{5^2} \times \frac{7^2}{15^2}\)
\(\large =\frac{9\times 12}{5^2}\frac{7^2}{3^2\cdot 5^2}\)
\(\large =\frac{12\cdot 49}{25\cdot 25}\)

①より\(OB:DB=\frac{5}{2}:\frac{7}{5}=25:14\)

よって\(\triangle OEB\)の面積は
\(\triangle EBD \times \frac{25}{14}\)
\(\large =\frac{12\cdot 49}{25\cdot 25} \times \frac{25}{14}\)
\(\large =\frac{6 \cdot 7}{25}=\frac{42}{25}\)

(4) (答) \(\large \frac{42}{25}\) \((cm^2)\)

追伸

\(\large \frac{9 \times 12}{5^2}\) や \(\large \frac{12\cdot 49}{25\cdot 25}\) などは、後で約分しやすいように、あえて計算しないでおくのが良い。

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アクトイン代表:熊原