山形県公立高校入試問題令和3年(数学)

次は、宮城県のお隣、山形県。ここでも思考を要する問題だけを取り扱う。

大問3⃣

 問題文の自動車の速度は時速であるが、グラフは分速である。分速で考え、時速に直して答えることが必要。1の(2)から解答していこう。

3⃣1(2)解答例

 時速\(30km\)より、分速は
\(\frac{30}{60}=\frac{1}{2}km/分\)
または、グラフより、\(y=\frac{6}{12}x\) 
よって、
ア \(y=\frac{1}{2}x\) 

アの(答) \(\large y=\frac{1}{2}x\) 

家を出て18分後に、公園を出発して時速\(40km\)で空港に向かった。分速は\(\frac{40}{60}=\frac{2}{3} \ km/分\) である。

したがって、グラフは、12分から18分までは\(6km\)のままで距離は変わらず(横線)。18分からは傾き\(\frac{2}{3}\)の直線を、距離\(18km\)まで描けばよい。

グラフ(答) 右図

公園から空港までは\(18-6=12km\)だから、公園から空港までに要した時間は
\(\displaystyle \frac{12}{\frac{2}{3}}=18分\) 
したがって、家を出てから空港に着くまでの経過時間は
 \(18+18=36分\)
求める式は、
\(y-6=\frac{2}{3}(x-18) \iff y=\frac{2}{3}x-6\)

イの(答) \(36\)  、ウの(答) \(\displaystyle y=\frac{2}{3}x-6\)

3⃣1(3)解答例

駅から公園までは\(6km\)
10時6分に駅を出たバスは、10時12分より前に公園に着いてないから、その時の分速は
\(\frac{6}{12-6}=1km/分\) より遅い
よって、時速\(60km\) より遅い
そして、10時18分より前には公園に着いているはずだからその時の分速は
\(\frac{6}{18-6}=\frac{1}{2}km/分\) より速い
よって、時速\(30km\) より速い

また、10時36分より後に、空港に着いているはずだから、その時の分速は
\(\frac{18}{36-6}=\frac{3}{5}km/分\) より遅い
よって、時速\(36km\) より遅い

以上より

ェの(答) \(30\) 、オの(答) \(36\)

大問4⃣3の面積問題

解答例

\(AB=8, \quad DE=6\)より、
\(OA=OB=OC=4\)

\(\triangle DOE \sim \triangle DFO \sim \triangle CFG\)
\(DE:EO=6:4=3:2\)
\(\iff DO:OF=3:2 \iff 4:OF=3:2\)
\(\iff OF=\frac{8}{3}\)
\(\iff FC=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} \iff OF:CF=2:1\)
\(\iff OD:CG=2:1 \iff CG=2\)

\(\triangle ODE \equiv \triangle OCB\)だから
\(CB=6\)
\(O\)から線分\(CB\)に下した垂線の足を\(I\)とおくと\(BI=3\)
よって、\(OI=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\)


\(\triangle COB \sim \triangle CFG\)だから
\(CB:CG=6:2=3:1\)


よって、\(F\)から線分\(CG\)に下した垂線の足を\(J\)とおくと $$ OI:FJ=3:1 \iff FJ=\frac{\sqrt{7}}{3}$$

よって、求める\(\triangle CFG\)の面積は $$ \triangle CFG=CG \times FJ \times \frac{1}{2} $$ $$ =2 \times \frac{\sqrt{7}}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}}{3} $$

(答) \(\Large \frac{\sqrt{7}}{3}\) \((cm^2)\)

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アクトイン代表:熊原