暗算でサクサク図形問題3

問題1

基本中の基本です。

右の図において、
\(\angle x \ \)の大きさを
求めなさい。

解答

(答) \(113^{\circ}\)

右図⇒を暗記しておくと良いでしょう。


\(x=50^{\circ}+63^{\circ}\)

証明は右下の図⇒
の通りです。


\(AB//DC \iff \angle ABC =\angle DCE \ \)(同位角)
         \(\angle BAC =\angle ACD \ \)(錯角)
よって、\(\angle ACE =\angle DCE + \angle ACD\)
        \(=\angle ABC + \angle BAC=a+b\)

問題3

前問の確認です。

右の図の\(\angle x \ \)の
大きさを求めなさい。

解答

(答) \(30^{\circ}\)

このような図形
では、
右上図⇒と一緒に
\(A=a+b+c\)
と覚えておけば、
\(x+35^{\circ}+50^{\circ}=115^{\circ}\)
から
\(x=115^{\circ}-35^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}\)

右下の図のように⇒
補助線を引いて
考えても良いです。

問題5

前問の確認です。

右の図において、
\(l//m \ \)です。
\(\angle x \ \)の大きさを
求めなさい。

解答

(答) \(105^{\circ}\)

補助線の引き方はいくつかありますが、下の図のように補助線を引くと、
\(\angle ADC = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}\)
\(x=\angle ECB \ \)(錯角)
よって、\(x=\angle ECB =30^{\circ}+ 75^{\circ}=105^{\circ}\)

問題9

右図において
\(\angle x \ \)の大きさを
求めなさい。

解答

(答) \(99^{\circ}\)

同じ弧に対する円周角は等しいので
\(\angle ACD = \angle ABD\)
\(=64^{\circ}\)
よって
\(x =64^{\circ}+35^{\circ}\)
\(=99^{\circ}\)

問題10

右図において、
円周上に
4点\(A, \ B, \ C, \ D\)
があります。
線分\(AC \ \)は直径です。
\(\angle x \ \)の大きさを求めなさい。

解答

(答) \(67^{\circ}\)

点\(D \ \)と点\(C \ \)を
結びます。
直径に対する
円周角より
\(\angle ADC =90^{\circ}\)
よって、
\(\angle ACD\)
\(= 90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}\)
同じ弧に対する
円周角は等しいので、\(x=\angle ACD =67^{\circ}\)

問題13

右図の\(\triangle ABC\)
において、
点\(D \ \)は辺\(AC \ \)上の、
点\(E \ \)は辺\(BC \ \)上の
点で、
\(AB//DE \ \)です。


\(AD=2cm\)
\(DC=7cm\)
\(BC=8cm\)
のとき、線分\(EC \ \)の長さ\(x \ \)を求めなさい。

解答

(答) \(\large \frac{56}{9}\) \((cm)\)

\(AB//DE \ \)より、
\(\triangle ABC \ \)∽\( \ \triangle DEC\)
\(AC=9 \ cm \ \)より、
\(AC:DC=9:7\)
だから
\(\triangle ABC \ \)と\( \ \triangle DEC \ \)の
相似比は \(9:7\)
よって、
\(DC \ \)は\(AC \ \)の\(\frac{7}{9} \ \)倍です。
\(EC \ \)も\(BC \ \)の\(\frac{7}{9} \ \)倍です。
したがって、\(x \ (EC)=BC\times \frac{7}{9}=8\times \frac{7}{9}=\frac{56}{9}\)

\(8:x=9:7 \ \)から計算しても良いですが、暗算だとちょっと厳しかもしれません。

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アクトイン代表:熊原