東京都立高校入試問題令和3年(数学)

 東京都の問題は、昨年と今年の問題を拝見している。大問が5つあり、すべてに的確に解答するのはかなり難しいと思われる。今回の問題に関しては、問題3⃣の〔問3〕が厄介だ。あと、四角錐の体積問題が2年連続で出題されている。今回の四角錐の体積は比較的求めやすい。

では、大問3⃣の〔問3〕から

〔問3〕の解答例

\(A(-12,-2), \quad l:y=-2x+14\)
\(B(0,14), \quad P(x,-2x+14)\)
\(P(a,-2a+14), \ (a \gt 7) とおくと、 Q(a,2a-14)\)
直線\(m\)と\(y\)軸との交点を\(C\)とおく

\(\triangle APB= \frac{1}{2}BC \times |点Aと点Pのx座標の差|\)
\(= \frac{1}{2}BC \times (a+12)\)
\(\triangle APQ= \frac{1}{2}PQ \times |点Aと点Pのx座標の差|\)
\(= \frac{1}{2}PQ \times (a+12)\)
よって
\(\triangle APB= \triangle APQ \iff BC=PQ\)
\( \iff \) 四角形\(BCPQ\)は平行四辺形
\( \iff \)直線\(AP\)と直線\(BQ\)の傾きは等しい
\(\iff \frac{-2a+14+2}{a+12}=\frac{2a-14-14}{a}\)
\(\iff a(-2a+16)=(a+12)(2a-28)\)
\(\iff -2a^2+16a=2a^2-4a-12 \times 28\)
\(\iff 4a^2-20a-12 \times 28=0\)
\(\iff a^2-5a-84=0\)
\(\iff (a-12)(a+7)=0\)
\(\iff a=12 \quad (a \gt 7)\)
(答)求める点\(P\)の\(x\)座標は \(12\)

 直線の傾きから点\(P\)の\(x\)座標を求めたが、少し計算が面倒である。慌てていると計算ミスにつながる。もっと簡単に求める方法があるのだろうか...。

大問4⃣

〔問2〕② 解答例

題意より
\(\triangle ABC \sim \triangle BEC \sim \triangle CER\)
\(AB=16,AD=BC=8\)より\(AC=8 \sqrt{5}\)
\(\iff BE:EC:BC=2:1:\sqrt{5}\)
よって
\(BC:BE=\sqrt{5}:2 \iff 8:BE=\sqrt{5}:2\)
\(\iff BE=\frac{16}{\sqrt{5}}\)
\(\iff EC=\frac{8}{\sqrt{5}} \iff ER=\frac{4}{\sqrt{5}}\)

面積

\(\triangle BEC = \frac{1}{2} \times BE \times EC=\frac{1}{2} \times \frac{16}{\sqrt{5}} \times \frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{64}{5}\)
\(\triangle CER=\frac{1}{2} \times EC \times ER=\frac{1}{2} \times \frac{8}{\sqrt{5}} \times \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{16}{5}\)
\(\triangle BEC \equiv \triangle PEC\)だから\(\triangle PEC=\frac{64}{5}\)
\( \iff \triangle PRC=\triangle PEC-\triangle CER=\frac{64}{5}-\frac{16}{5}=\frac{48}{5}\)

(答) \(\displaystyle \frac{48}{5}\)

\(\triangle BEC\)と\(\triangle CER\)の相似比が\(2:1\)であることに気が付けば、
\(\triangle CER=\triangle BEC \times \frac{1}{2^2}\)
\(=\frac{64}{5} \times \frac{1}{4}=\frac{16}{5}\)
と、少し計算が楽になる。

大問5⃣

〔問2〕解答例

立体\(D-BPFQ\) は、\(D\)を頂点とする四角錐


\(BP=4 \iff FQ=4\)
四角形\(BPFQ\)は平行四辺形だから、
四角形\(BPFQ\)の面積は、\(4 \times 6=24\)
\(\triangle DEF\)の頂点\(D\)から辺\(EF\)に下した垂線の足を\(H\)とすると
\(\triangle DEF \sim \triangle HDF\)
\( \iff DH=3\times \frac{4}{5}=\frac{12}{5}\)

求める立体\(D-BPFQ\)の体積は、
(四角形\(BPFQ\)の面積)\(\times DH \times \frac{1}{3}\)
\(=24 \times \frac{12}{5} \times \frac{1}{3}=\frac{96}{5}\)

(答) \(\displaystyle \frac{96}{5}\)

 今回のこの四角錐の高さは、比較的求めやすいので、昨年の四角錐の体積問題よりは解きやすくなっている。

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アクトイン代表:熊原